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<選択科目(第1類)> ルベーグ積分 ルベーグ積分演習 代数Ⅰ 代数Ⅰ演習 代数Ⅱ 位相空間 位相空間演習 曲線と曲面 曲線と曲面演習 複素関数続論 関数解析 多様体 位相幾何入門 確率Ⅰ 確率Ⅱ <選択科目(第2類)> 幾何学1
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位相の各公理の関係など参考 設定 台集合 開集合系 同値な位相 閉集合系 開集合の補集合を取れば良い。 近傍系 xを含む開集合を含む部分集合 開近傍系(基本近傍系) xを含む開集合 開核演算子と閉包演算子 Aに含まれる最大の開集合と,Aを含む最小の閉集合 あるいは,Aに含まれる開集合の和集合と,Aを含む閉集合の共通部分 ←稠密な部分集合 ←稠密な部分集合(自明) 点列の収束の例 →1点に収束しないことから,ハウスドルフでないことが分かる。 xに収束する ⇔ 任意のxの近傍に対して,ある番号より先の列が含まれる。 1. ←!!! 2. 3. 4. 5. 6. 7. 位相的性質 可算公理 基本近傍系として,特に近傍系を取れば,これは高々可算個の近傍からなる基本近傍系であるから,第1可算である。 開基としても同様に,もとの開集合系を取れば,これは高々可算個の開集合から開基であるから,第2可算である。 従って特に,可分でもある。実際,稠密な高々可算部分集合として, をとることができる。 分離公理 「1点集合が閉集合」とは限らないので,第1分離公理ですらない。 コンパクト性 の開被覆があれば,それは自動的に有限被覆である。 従って任意の部分集合はコンパクト集合である。 特に,部分集合としてX自体を取れば,コンパクト空間(⇒局所コンパクト)である。 ※一般に,位相空間の有限部分集合はコンパクトである。 連結性 開かつ閉が自明なものに限るので,連結である。 部分集合の連結性を調べるに当たって,部分位相を調べる↓ 部分空間の相対位相 もとの開集合とAとの共通部分を改めて開集合にする。 ※元の位相では開集合でないものが表れることに注意する。 連結 連結 連結 不連結! ←一般に分離位相は完全不連結で,その連結成分は一点集合 連結 連結 一般に,有限集合上の位相空間において,連結⇔弧状連結だが, 実際,以下のようにして弧( 連続写像)をつくることができる。 従って弧状連結である。 同相写像群 XからXへの全単射の全体は3次対称群である。 このうち連続写像であるためには, を満たさなければならないが,これを満たすものは次の二つのみである。 これらはいずれも両連続であるから,同相写像であり,これで尽くされる。
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サイトマップ サイトマップ? メニュー トップページ メニュー コンテンツ テンプレート 参考文献 集合論 線形代数? 群・環・体論 群論 環論 体論 位相空間 多様体? 複素解析 測度論 函数解析? 圏論 論理学 一階述語論理 タグ一覧 位相空間 メタページ 圏論 集合論 論理学 体論 代数 環論 複素解析 群論 測度 最近更新されたページ 取得中です。 ここを編集
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NAME:「ウフコック・ペンティーノ」(原作:マルドゥック・スクランブル) 属性:幻/幻 クラス:「万能道具」 サブクラス「ダンディ」 種族:ネズミ型人工生命(仮) 経歴: 古代遺跡で発見された、金色のネズミの姿をした人工生命。二本足で立って歩いたりするがネズミ。 製作者などは不明だが、万能の個人用装備を目指して創造されたと思われる。 自らの内部に特殊な位相空間を持ち、その中に格納した無数のツールを『裏返/ターンオーバー』する事によりあらゆる状況に対応する。なお、内部空間でパーツの鍛造も可能であるが、その際には設計など相応の時間を要する場合がある。 己の存在意義を有用性の証明と定義し、持ち主の役に立ち、なおかつトラブルの解消を行うことをその本分としている。 ╋<装備>╋ 「お気に入りのズボンと上着」:尻尾用の穴が開いております。なお、自らの位相空間から出したもの。 【称号スキル】 「金色ネズミ」:その姿は金色のネズミ。手のひらサイズ。隠密判定に大きなボーナスを得るが、耐久力に大きなマイナスを負う。 「煮え切らない者/ウフコック」:物事や他者に対して煮え切らず、希望を抱き続ける強靭な精神力を持つ。精神力を問われる判定や恐怖、狂気に対する対抗判定にボーナス。 「ダンディ」:ネズミでありながら感情や生きる意味の模索、死の意味など、人間のメンタリティを理解している。対人スキルにボーナスを得る。 「我が求めるは有用性」:人間が用いる為に創造された存在であるがゆえに、己の存在意義――有用性を求め続けている。いつかどこかで出会う、誰かの為に存在している。己の使い手と協調行動を行う際、その成功確率にボーナスを得る。 【所持スキル】 「交渉人の流儀」:対人交渉、特に犯罪関連の交渉を得意とする。犯罪の要諦は、今も昔も変わらない。 「隠密技能」:潜伏や忍び足など、他者に気付かれずに行動する為の技能。 「超嗅覚」:鋭い嗅覚を持つ。強い匂いをかぐとペナルティを負う場合がある。 →「感情察知」:ネズミは匂いによって感情を理解する。 「道具知識」:道具一般に関する知識。改造などの技術も含む。 「武器知識」:武器一般に関する知識。改造などの技術も含む。 「防具知識」:防具一般に関する知識。改造などの技術も含む。 「魔具知識」:魔具一般に関する知識。改造などの技術も含むが、高度なものは扱えない。 「魔改造」:己の知識を組み合わせ、常識外れの物品であっても制作することが出来る技能。ただし高度な魔具はその例外とする。 【特徴スキル】 「位相空間融合生物」:見た目こそ小さなネズミだが、その存在は独自に所有している位相空間に預けられており、莫大なキャパシティを持つ。なお、自らが傷ついても位相空間から補填が可能であるため、「金色ネズミ」の耐久ペナルティを打ち消す。 「ターンオーバー」:己の内部に格納した物質を、外部に出現させる。その際ネズミとしての体は内部空間に折りたたまれ、これによりあらゆる道具、武器、防具に変化することが出来る。ただし、常人が所持できる程度の大きさまでが限度である。 「アレルギー:濫用」:自らが、自らの持つ倫理観に反する使用を強制された場合、拒絶反応が生じ自らにダメージを受け、なおかつ能力の使用に大きなペナルティを受ける。 【称号】 「煮え切らぬ者」:煮え滾らず、焦げ付かず、己の意志を持ち、他者への救いとなることをその本分とする者であることを示す称号。
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代数構造,位相構造,順序構造 とか。 数 自然数 特徴づけ ペアノの公理とか? 他との関係 加法に関して群にする → 整数 整数 特徴づけ 有理整数環 一意分解整域(UFD) 単項イデアル整域(PID) 他との関係 乗法に関して群にする → 有理数 有理数 特徴づけ 有理数体 他との関係 完備化 → 実数 (実は公理) 代数的閉包 → 複素数 実数体 特徴づけ 完備性 Rnの系列の中で見れば,唯一 n=1 の場合だけが順序体 複素数体 特徴づけ 代数的閉体 複素関数では,正則関数と解析関数が一致する。 組み合わせ 有限次元ユークリッド空間 特徴づけ ユークリッド距離による位相を入れる。 ノルム空間 有限次元空間の任意の2つのノルムは互いに同値 ←つまり,ノルムは本質的に1つしか入らない! 代数的基底を持つ 線形写像について,有界性 ⇔ 連続性,全射 ⇔ 単射 収束について,弱収束=成分毎の収束=強収束 有界閉集合 ⇔ コンパクト( ⇔ 点列コンパクト) 有界閉⇔コンパクト:Heine-Borel ←∞次元では成り立たない。 コンパクト⇔点列コンパクト:距離空間で成り立つ。 有界点列は収束部分列を持つ:Bolzano-Weierstrassの拡張 アフィン空間 特徴づけ ザリスキ位相 一般線形群 特徴づけ Lie群(群構造をもつ位相空間) 他との関係 部分群 → 直交群 関数 多項式環 有理関数体 構造 線形空間 特徴づけ 有限次元空間の代数構造は次元のみで決まる。 他との関係 ノルムを入れる → ノルム空間 内積を入れる → 内積空間 半正定二次形式を入れる → 距離空間 双線形形式を入れる → 同伴二次形式を誘導 直積をとる → 直積空間 双対をとる → 双対空間 係数が環 → R-加群 内積空間 計量ベクトル空間,プレヒルベルト空間ともいう。 特徴づけ 直交を考えることができる。 正規直交を保つ変換として,ユニタリ変換を考えることができる。 (射影は T2=T なる有界線形作用素として抽象化されるので,バナッハ空間で考えることができる) 他との関係 ノルムを誘導 → ノルム空間 → (さらに完備化)ヒルベルト空間 直交元の全体 → 直交補空間 ノルム空間 特徴づけ ベクトル(線形空間の点)の大きさを測れるようにしたもの。 連結 ←距離空間は必ずしも連結でない(離散位相が作れる) 有限次元空間では,全てのノルムは同値 ノルム空間のあいだの線形写像を線形作用素と呼ぶ。 特に,線形作用素なら連続性と有界性は同値。 作用素ノルムを考えることができる。 点列を考えることに意味を持つ。 ノルムを誘導する内積が常に存在するわけではない(中線定理の結論を満たすことが条件) 内積から誘導されたノルムは,成分表示において座標系に依らないベクトル固有の量となる。 一方,他のp乗ノルムは座標変換によって値を変えてしまう。 しかし,だからといって無分別に2乗ノルムを用いるべきではないと伊理先生は警告している。 他との関係 完備化 → バナッハ空間(←完備距離空間とは違うのか?) 距離を誘導 → 距離空間 双対をとる → 作用素ノルムによって再びノルム空間 中線公理を満たす → ノルムを誘導する内積が構成できる。(内積→ノルムの逆を辿れる) 直積をとる → 直積ノルム空間(直積ノルム)を入れる。 作用素のグラフ → グラフノルム()を入れる バナッハ空間 特徴づけ CONSほど便利なものは考えられない。Hahn-Banachが有力。 フレシェ微分,ガトー微分を考えられる。 反射的バナッハ空間ならば,弱Cauchy列が弱収束する。 他との関係 双対をとる → 作用素ノルムによって再びバナッハ空間 距離空間 特徴づけ 距離位相(開球を開集合とする位相)が入る。 線形構造などは特に持たないので,ノルム空間よりも抽象的。 Hausdorff,第一可算,パラコンパクト,完全正規 特に,一点は閉集合 完備かつ全有界(プレコンパクト) ⇔ コンパクト ⇔ 点列コンパクト 第一可算性より,点列連続 ⇔ 各点連続 距離はノルムから誘導されるとは限らない。 他との関係 完備化 → 完備距離空間 関数解析学 連続関数環 特徴づけ 台が閉集合 → supノルム(一様収束位相)で完備(つまりバナッハ) 代数構造 バナッハ環 ヒルベルト空間 特徴づけ 線形空間に内積を入れた空間 リースの表現定理 しかも,誘導されたノルムの位相で完備 要するにバナッハ空間 他との関係 有限次ユークリッド空間 も,ヒルベルト空間 変換H→Hの全体 ⇒ バナッハ環 ルベーグ空間 特徴づけ ルベーグ測度 Ω開集合,1≦p<∞のとき, ソボレフ空間 特徴づけ Lp関数のうち,弱微分が再びLpになる関数を集めたもの。 フレシェ空間 位相論 ハウスドルフ空間 コンパクト空間 局所コンパクトハウスドルフ空間 幾何学 トーラス クライン
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前ページ次ページLibrary/数学 微分・積分 赤 攝也 微分学 (微分積分学I) 赤 攝也 積分学 (微分積分学II) 赤 攝也 実数論講義 (微分積分学III) 高木貞治,"解析概論" 集合・位相 松坂 和夫,"集合・位相入門",岩波書店 斎藤 正彦,"数学の基礎",東京大学出版会 青木 利夫,高橋,"集合・位相空間要論" 論理学 前原 昭二,"記号論理入門",技術評論社 イプシロン-デルタ論法 田島 一郎,"イプシロンーデルタ",数学ワンポイント双書,共立出版 原,松永,"イプシロン・デルタ論法完全攻略",共立出版 微分・積分 赤 攝也 微分学 (微分積分学I) 新しそうな本が出ていたのでおさらいにいいかなと買ってみた。 赤 攝也 積分学 (微分積分学II) 赤 攝也 実数論講義 (微分積分学III) 高木貞治,"解析概論" 古典的名著とされている。 集合・位相 松坂 和夫,"集合・位相入門",岩波書店 永年、定評のある本。 斎藤 正彦,"数学の基礎",東京大学出版会 線形代数入門でおなじみの齋藤正彦先生による本。 青木 利夫,高橋,"集合・位相空間要論" 山田 功 "工学のための関数解析"で紹介されていたため、中古本しかなかったため購入にいたった。 論理学 前原 昭二,"記号論理入門",技術評論社 イプシロン-デルタ論法 田島 一郎,"イプシロンーデルタ",数学ワンポイント双書,共立出版 原,松永,"イプシロン・デルタ論法完全攻略",共立出版 これは、かなりよさそうな本だ。
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<前期 数学科 時間割>2009年度 3年生 1:1時限目(9:00~10:30) 2:2時限目(10:40~12:10) 3:3時限目(13:00~14:30) 4:4時限目(14:40~16:10) 5:5時限目(16:20~17:50) 月曜日 1: 2: 3:代数学2 4:ルベーグ積分 5: 火曜日 1:曲線と曲面 2:位相空間 3: 4:代数Ⅰ演習 5: 水曜日 1: 2: 3:ルベーグ積分 4:位相空間演習 5: 木曜日 1: 2:複素関数続論 3:代数Ⅰ 4: 5: 金曜日 1:確率Ⅰ 2:数学輪講1 3:幾何学1 4:ルベーグ積分演習 5:比較文学 土曜日 1: 2:曲線と曲面演習
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※点列閉包は,第一可算の場合に限って閉包と一致する。 距離空間 metric space Def. 距離空間における閉包 触点の全体 i.e. Lem. 内部と境界の非交和 Lem. Aとの距離が0の点 Lem. 最小の閉集合 は,Aを含む最小の閉集合 位相空間 top. space Def. 位相空間における閉包 i.e. Aを含む最小の閉集合 Th. 各近傍が交わる ユークリッド空間 1. Aの任意の点列の収束先を全て含めた集合 ←点列閉包。第一可算の場合に閉包と一致する。 2. Aの内部と境界を含めた集合 非交和 3. Aを含む閉集合全ての共通部分 4. Aを含む最小の閉集合 (※ Rnの通常の位相に限らなければ,Zariski閉包という例もある。) 「Xの位相で閉包をとる」 同じ集合上に複数のノルム(や,その他の位相)を考えているときに出てくる表現 Xのノルムで収束するAの点列の収束先を全て含めた集合 特に稠密を考えているときは,どのノルムを使うかで当然どこで稠密になるかも変わってくる! 定理 1. 有限個の和集合の閉包は,閉包の和集合と等しい。 1 . 無限個のときは,あとからまとめて閉包をとった方がでかい。 2. 任意個の交わりの閉包は,閉包の交わりの部分集合になる。
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位相空間 完備でない距離空間 に絶対値距離 を入れた空間は完備でない。 なんとなれば,Qの列で,√2に収束する点列を考えればよい。 すべての部分集合が開かつ閉になる距離 X:set この距離による開球を開集合とする位相を考えると, となって,一点からなる集合が開集合となることが分かる。 従ってXの任意の部分集合は開集合になるから,任意の開集合の補集合は閉であると同時に再び開である。 これは離散位相になっている。 位相幾何学者の正弦曲線 のグラフは連結だが弧状連結でない。 多様体 多様体でない曲線 自己交叉をもつ曲線は可微分多様体にならない。 円と楕円の違い 可微分多様体としては同じ(微分同相) Riemann多様体としては別物(距離構造が違う) Riemann多様体 可微分多様体に距離を入れたもの。 具体的には,各接空間毎に内積を入れる(これをリーマン計量という)。